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線形代数2022

設問１（LU分解）

LU分解の利点

• ２つの行列L,Uを格納するのに必要なメモリは、元の行列Aの格納スペースに等しい¹。
• Ax=bの方程式を解くとき、１度LU分解をすればbの値が変化してもすぐに解ける²。Gaussの消去法を使う場合、拡大係数行列を再度階段化し直す必要がある

５つの行列分解

CR分解

$A$ の独立な列行列のみからなる行列 $C$ と、行簡約行列 $R$ の積に分解する。
行ランクと列ランクが等しいことの証明に使える。
例：

$$ \begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 3 & 5 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \

A &= CR \end{align*} $$

一般に $A:m\times n,\ C:m\times c,\ R:c\times n$ とするとき、$A$ の列ランクは $C$ の列数 $c$ である。また、$R$ の行ベクトルは $R$ が行簡約が独立であることより、$A$ の行ランクは、

LU分解

QR分解

固有値分解

特異値分解

プログラム

解答の確認に使ったプログラム

• ans_check.py
• LU_original.py
• LU_scipy.py：科学計算ライブラリを使ったLU分解。浮動小数点で計算するため結果にズレが生じる？

設問２（四元数の正方行列表現）

四元数はコンピュータビジョンと関係がある³。出題者が西野教授…？

Footnotes

1. Qiita記事 ↩

2. LU分解とGaussの消去法の比較 ↩

3. Wikipedia ↩