From 3b4c95ef76228bd97007bcce058052d89e459fb0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Hugo Delaunay Date: Wed, 24 Jul 2024 11:02:49 +0200 Subject: [PATCH] Une petite correction. --- content/latex/developpements/equation-de-sylvester.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/content/latex/developpements/equation-de-sylvester.tex b/content/latex/developpements/equation-de-sylvester.tex index c7ecfddcf..c31ca8392 100644 --- a/content/latex/developpements/equation-de-sylvester.tex +++ b/content/latex/developpements/equation-de-sylvester.tex @@ -41,7 +41,7 @@ \begin{proof} Comme l'application $\varphi : X \mapsto AX + XB$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, qui est un espace vectoriel de dimension finie, il suffit de montrer qu'elle est surjective pour obtenir l'injectivité (et donc l'unicité de la solution). Soit $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. On considère le problème de Cauchy suivant d'inconnue $Y : \mathbb{R} \rightarrow \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ : \[ \begin{cases} Y' = AY + YB \\ Y(0) = C \end{cases} \tag{$E$} \] - Il s'agit d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants (on peut voir cela notamment en calculant les produits $AY$ et $YB$ et en effectuant la somme ; l'égalité matricielle avec $C$ donnant le système d'équations voulu). D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, $(E)$ admet une unique solution définie sur $\mathbb{R}$ tout entier, que l'on note $Y$. + Il s'agit d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants (on peut voir cela notamment en calculant les produits $AY$ et $YB$ et en effectuant la somme ; l'égalité matricielle avec $Y'$ donnant le système d'équations voulu). D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, $(E)$ admet une unique solution définie sur $\mathbb{R}$ tout entier, que l'on note $Y$. \newpar On vérifie que la solution est définie $\forall t \in \mathbb{R}$ par $Y(t) = \exp(tA) C \exp(tB)$. En effet pour tout $t \in \mathbb{R}$, on a : \[ Y'(t) = A \exp(tA) C \exp(tB) + \exp(tA) CB \exp(tB) = AY + YB \]