From 65b4222d082c54dde2ccb5d4a77e37e0de6ecaf2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Hugo Delaunay Date: Wed, 31 Jul 2024 16:42:12 +0200 Subject: [PATCH] Des corrections. --- .../developpements/caracterisation-reelle-de-gamma.tex | 6 ++---- .../developpements/loi-d-inertie-de-sylvester.tex | 4 +--- content/latex/developpements/nombres-de-bell.tex | 4 +--- content/latex/developpements/theoreme-chinois.tex | 4 +--- .../latex/developpements/theoreme-d-abel-angulaire.tex | 6 ++---- .../theoreme-de-cauchy-lipschitz-lineaire.tex | 6 +----- .../developpements/theoreme-de-dirichlet-faible.tex | 4 +--- content/latex/developpements/theoreme-de-fejer.tex | 8 +++----- content/latex/developpements/theoreme-de-kronecker.tex | 2 +- content/latex/developpements/theoreme-de-wantzel.tex | 10 +++++----- .../theoreme-de-weierstrass-par-la-convolution.tex | 4 +--- content/latex/fiches/extrema-lies.tex | 4 +--- content/latex/fiches/invariants-de-similitude.tex | 4 +--- 13 files changed, 21 insertions(+), 45 deletions(-) diff --git a/content/latex/developpements/caracterisation-reelle-de-gamma.tex b/content/latex/developpements/caracterisation-reelle-de-gamma.tex index baab3cc5c..e0bca1671 100644 --- a/content/latex/developpements/caracterisation-reelle-de-gamma.tex +++ b/content/latex/developpements/caracterisation-reelle-de-gamma.tex @@ -92,9 +92,7 @@ \[ \forall x \in ]0, 1], \Gamma(x) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n^x n!}{(x+n) \dots (x+1)x} \] que l'on peut aisément étendre à $\mathbb{R}^+_*$ entier. \end{remark} - - \begin{remark} - La preuve, telle qu'elle est écrite ici, est issue d'un livre de Walter Rudin. Elle est également disponible (sous une forme un peu différente) comme l'indique la référence, dans \cite{[ROM19-1]}. - \end{remark} + + La preuve, telle qu'elle est écrite ici, est issue d'un livre de Walter Rudin. Elle est également disponible (sous une forme un peu différente) comme l'indique la référence, dans \cite{[ROM19-1]}. % \end{document} diff --git a/content/latex/developpements/loi-d-inertie-de-sylvester.tex b/content/latex/developpements/loi-d-inertie-de-sylvester.tex index 7c09463e5..10962a8d5 100644 --- a/content/latex/developpements/loi-d-inertie-de-sylvester.tex +++ b/content/latex/developpements/loi-d-inertie-de-sylvester.tex @@ -68,8 +68,6 @@ d'où le rang de $\Phi$. \end{proof} - \begin{remark} - La preuve de \cite{[GOU21]} est un peu décousue. Il faut savoir recoller les morceaux pour bien montrer existence et ``unicité'' de la décomposition. - \end{remark} + La preuve de \cite{[GOU21]} est un peu décousue. Il faut savoir recoller les morceaux pour bien montrer existence et ``unicité'' de la décomposition. % \end{document} diff --git a/content/latex/developpements/nombres-de-bell.tex b/content/latex/developpements/nombres-de-bell.tex index 162b6fead..c5b1d55a8 100644 --- a/content/latex/developpements/nombres-de-bell.tex +++ b/content/latex/developpements/nombres-de-bell.tex @@ -56,8 +56,6 @@ \[ \forall k \in \mathbb{N}^*, \, B_k = \frac{1}{e} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^k}{n!} \] \end{proof} - \begin{remark} - La partie sur le dénombrement (au début de la preuve) est un peu technique. N'hésitez pas à passer du temps dessus et à y réfléchir en faisant des exemples. - \end{remark} + La partie sur le dénombrement (au début de la preuve) est un peu technique. N'hésitez pas à passer du temps dessus et à y réfléchir en faisant des exemples. % \end{document} diff --git a/content/latex/developpements/theoreme-chinois.tex b/content/latex/developpements/theoreme-chinois.tex index 9bb6f3592..d466c1d7b 100644 --- a/content/latex/developpements/theoreme-chinois.tex +++ b/content/latex/developpements/theoreme-chinois.tex @@ -113,8 +113,6 @@ Les solutions sont bien de la forme escomptée. \end{proof} - \begin{remark} - \cite{[ULM18]} utilise un autre algorithme pour trouver la solution. Le fait de chercher un antécédent permet de faire un lien ``direct'' avec le \cref{theoreme-chinois-1}. Attention, il faut réussir à trouver les coefficients de Bézout\dots - \end{remark} + \cite{[ULM18]} utilise un autre algorithme pour trouver la solution. Le fait de chercher un antécédent permet de faire un lien ``direct'' avec le \cref{theoreme-chinois-1}. Attention, il faut réussir à trouver les coefficients de Bézout\dots % \end{document} diff --git a/content/latex/developpements/theoreme-d-abel-angulaire.tex b/content/latex/developpements/theoreme-d-abel-angulaire.tex index b335b788b..251d11c17 100644 --- a/content/latex/developpements/theoreme-d-abel-angulaire.tex +++ b/content/latex/developpements/theoreme-d-abel-angulaire.tex @@ -97,10 +97,8 @@ &= \frac{\pi}{4} \end{align*} \end{proof} - - \begin{remark} - La preuve de l'application précédente écrite dans \cite{[GOU20]} est un peu lacunaire. Merci aux personnes qui l'ont signalée et corrigée. - \end{remark} + + La preuve de l'application précédente écrite dans \cite{[GOU20]} est un peu lacunaire. Merci aux personnes qui l'ont signalée et corrigée. \begin{application} \[ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln(2) \] diff --git a/content/latex/developpements/theoreme-de-cauchy-lipschitz-lineaire.tex b/content/latex/developpements/theoreme-de-cauchy-lipschitz-lineaire.tex index 5df80c804..c36a7a3a4 100644 --- a/content/latex/developpements/theoreme-de-cauchy-lipschitz-lineaire.tex +++ b/content/latex/developpements/theoreme-de-cauchy-lipschitz-lineaire.tex @@ -76,12 +76,8 @@ \] (où $Y_n$ est la solution de $(C)$ sur $K_n \ni t$). En particulier, $\theta$ est dérivable sur $I$ tout entier, vérifie $(C)$, et prolonge toute solution. \end{proof} - - \begin{remark} - La preuve, telle qu'elle est écrite ici, est en grande partie issue d'un livre d'Alain Pommellet. Elle est également disponible (sous une forme un peu différente) comme l'indique la référence, dans \cite{[DAN]}. - \end{remark} - Selon la leçon, on pourra préférer le théorème suivant (dont la démonstration utilise des arguments semblables). + La preuve, telle qu'elle est écrite ici, est en grande partie issue d'un livre d'Alain Pommellet. Elle est également disponible (sous une forme un peu différente) comme l'indique la référence, dans \cite{[DAN]}. Selon la leçon, on pourra préférer le théorème suivant (dont la démonstration utilise des arguments semblables). \reference[GOU20]{374} diff --git a/content/latex/developpements/theoreme-de-dirichlet-faible.tex b/content/latex/developpements/theoreme-de-dirichlet-faible.tex index 7c8de2073..7c40bf56f 100644 --- a/content/latex/developpements/theoreme-de-dirichlet-faible.tex +++ b/content/latex/developpements/theoreme-de-dirichlet-faible.tex @@ -67,9 +67,7 @@ Pour conclure, on écrit $N = \alpha q \pm 1$ (par division euclidienne), et on a $p \mid N - \alpha q = \pm 1$ : absurde. \end{proof} - \begin{remark} - Si vous choisissez de présenter ce développement, il faut au moins connaître l'énoncé de la version forte du théorème. - \end{remark} + Si vous choisissez de présenter ce développement, il faut au moins connaître l'énoncé de la version forte du théorème. \begin{theorem}[Progression arithmétique de Dirichlet] Pour tout entier $n$ et pour tout $m$ premier avec $n$, il existe une infinité de nombres premiers congrus à $m$ modulo $n$. diff --git a/content/latex/developpements/theoreme-de-fejer.tex b/content/latex/developpements/theoreme-de-fejer.tex index 78f6623b9..bb48cd8ac 100644 --- a/content/latex/developpements/theoreme-de-fejer.tex +++ b/content/latex/developpements/theoreme-de-fejer.tex @@ -6,12 +6,12 @@ \development{analysis}{theoreme-de-fejer}{Théorème de Fejér} \summary{Dans ce développement, on montre le théorème de Fejér, qui assure la convergence de la série de Fourier d'une fonction au sens de Cesàro.} - + \begin{lemma} \label{theoreme-de-fejer-1} Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ une fonction continue et $T$-périodique. Alors $f$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$. \end{lemma} - + \begin{proof} Le théorème de Heine implique la continuité uniforme de $f$ sur $[-T, 2T]$, ce qui s'écrit : \[ \forall \epsilon > 0, \exists \eta > 0 \text{ tel que } \forall x, y \in [-T, 2T], \, \vert x - y \vert < \eta \implies \vert f(x) - f(y) \vert < \epsilon \tag{$*$} \] @@ -77,8 +77,6 @@ D'où le résultat. \end{proof} - \begin{remark} - Je préfère la preuve de \cite{[GOU21]}, qui est plus ``clés en main''. Il est possible de passer les calculs des noyaux de Dirichlet et de Fejér dans un premier temps, puis de les montrer à la fin selon le temps restant. - \end{remark} + Je préfère la preuve de \cite{[GOU21]}, qui est plus ``clés en main''. Il est possible de passer les calculs des noyaux de Dirichlet et de Fejér dans un premier temps, puis de les montrer à la fin selon le temps restant. % \end{document} diff --git a/content/latex/developpements/theoreme-de-kronecker.tex b/content/latex/developpements/theoreme-de-kronecker.tex index 0ad572d0d..3c2c83c70 100644 --- a/content/latex/developpements/theoreme-de-kronecker.tex +++ b/content/latex/developpements/theoreme-de-kronecker.tex @@ -21,7 +21,7 @@ \end{proof} \begin{remark} - Tout au long de ce développement, nous utiliserons implicitement le fait que tout polynôme à coefficient dans $\mathbb{C}$ (donc à fortiori aussi dans $\mathbb{Z}$) admet $n$ racines complexes comptées avec multiplicité. Il s'agit du théorème de d'Alembert-Gauss. + Tout au long de ce développement, nous utiliserons implicitement le fait que tout polynôme à coefficients dans $\mathbb{C}$ (donc à fortiori aussi dans $\mathbb{Z}$) admet $n$ racines complexes comptées avec multiplicité. Il s'agit du théorème de d'Alembert-Gauss. \end{remark} \reference[I-P]{279} diff --git a/content/latex/developpements/theoreme-de-wantzel.tex b/content/latex/developpements/theoreme-de-wantzel.tex index b1448fa48..8e4a73941 100644 --- a/content/latex/developpements/theoreme-de-wantzel.tex +++ b/content/latex/developpements/theoreme-de-wantzel.tex @@ -247,9 +247,7 @@ \end{itemize} \end{proof} - \begin{remark} - La réciproque et la conclusion du sens direct du théorème sont mieux rédigées dans \cite{[GOZ]}, à mon avis. - \end{remark} + La réciproque et la conclusion du sens direct du théorème sont mieux rédigées dans \cite{[GOZ]}, à mon avis. \reference[GOZ]{52} @@ -265,7 +263,7 @@ \item $\forall i \in \llbracket 0, p-1 \rrbracket$, $L_{i+1}$ est une extension quadratique (de degré $2$) de $L_i$. \item $\alpha \in L_p$. \end{enumerate} - Par le théorème de la base téléscopique, + Par le théorème de la base télescopique, \[ [L_p : \mathbb{Q}] = 2^p \] et par ce même théorème, \[ [L_p : \mathbb{Q}] = [L_p : \mathbb{Q}(\alpha)] [\mathbb{Q}(\alpha) : \mathbb{Q}] \] @@ -278,7 +276,9 @@ \begin{proof} On a $\mathcal{V} = a^3$ et donc $ 2\mathcal{V} = 2a^3$. L'arête d'un cube est la racine cubique de son volume. Il faut donc construire le nombre - \[ \alpha = \sqrt[3]{2a^3} = a\sqrt[3]{2} \] + \[ \sqrt[3]{2a^3} = a\sqrt[3]{2} \] + Comme $a$ est constructible, ceci revient à construire le nombre + \[ \alpha = \sqrt[3]{2} \] Le polynôme $P = X^3 - 2$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$ (par le critère d'Eisenstein) et annule $\alpha$ : c'est son polynôme minimal sur $\mathbb{Q}$. On a ainsi \[ [\mathbb{Q}(\alpha) : \mathbb{Q}] = 3 \] donc $\alpha$ n'est pas constructible par le \cref{theoreme-de-wantzel-3}. diff --git a/content/latex/developpements/theoreme-de-weierstrass-par-la-convolution.tex b/content/latex/developpements/theoreme-de-weierstrass-par-la-convolution.tex index 35eb81a83..93813444e 100644 --- a/content/latex/developpements/theoreme-de-weierstrass-par-la-convolution.tex +++ b/content/latex/developpements/theoreme-de-weierstrass-par-la-convolution.tex @@ -85,8 +85,6 @@ Comme $\widetilde{f} \circ \varphi$ est continue, à support dans $I$, on peut maintenant affirmer que $\widetilde{f} \circ \varphi$ est limite uniforme d'une suite de polynômes $(\rho_n)$. Donc $\widetilde{f}$ est limite uniforme de la suite $(\rho_n \circ \varphi^{-1})$ où $\forall n \in \mathbb{N}$, $\rho_n \circ \varphi^{-1}$ est bien une fonction polynômiale car $\varphi$ (donc $\varphi^{-1}$ aussi) est affine. A fortiori, $f = \widetilde{f}_{|[a,b]}$ est aussi limite de fonctions polynômiales sur $[a,b]$. \end{proof} - \begin{remark} - La fin de la preuve me semble mieux écrite dans \cite{[I-P]}. - \end{remark} + La fin de la preuve me semble mieux écrite dans \cite{[I-P]}. % \end{document} diff --git a/content/latex/fiches/extrema-lies.tex b/content/latex/fiches/extrema-lies.tex index b81c0844d..3aace2558 100644 --- a/content/latex/fiches/extrema-lies.tex +++ b/content/latex/fiches/extrema-lies.tex @@ -63,9 +63,7 @@ L'unicité est claire car $(\mathrm{d}(g_i)_a)_{i \in \llbracket 1, r \rrbracket}$ est une famille libre. \end{proof} - \begin{remark} - Attention à la rigueur et à la propreté dans cette démonstration. On peut très vite se perdre si l'on va trop vite ou si l'on ne prend pas le temps de bien écrire chaque donnée. - \end{remark} + Attention à la rigueur et à la propreté dans cette démonstration. On peut très vite se perdre si l'on va trop vite ou si l'on ne prend pas le temps de bien écrire chaque donnée. \reference[BMP]{20} diff --git a/content/latex/fiches/invariants-de-similitude.tex b/content/latex/fiches/invariants-de-similitude.tex index 6f24480e1..7bb8f97d5 100644 --- a/content/latex/fiches/invariants-de-similitude.tex +++ b/content/latex/fiches/invariants-de-similitude.tex @@ -43,9 +43,7 @@ Il existe $x \in E$ tel que $P_x = \pi_f$. \end{lemma} - \begin{remark} - La démonstration est un peu trop longue pour être incluse ici : c'est un résultat qui demande du temps pour le démontrer (et pourrait constituer un vrai développement à part entière). Nous vous renvoyons vers \cite{[GOU21]} p. 178 pour la démonstration. - \end{remark} + La démonstration est un peu trop longue pour être incluse ici : c'est un résultat qui demande du temps pour le démontrer (et pourrait constituer un vrai développement à part entière). Nous vous renvoyons vers \cite{[GOU21]} p. 178 pour la démonstration. \begin{theorem}[Frobenius] Il existe des sous-espaces vectoriels $F_1, \dots, F_r$ de $E$ tous stables par $f$ tels que :