Quelques corrections dans les développements.

content/latex/developpements/developpement-asymptotique-de-la-serie-harmonique.tex

@@ -29,8 +29,8 @@
         \filldraw[cyan!50] (B) -- (A) -- (C) -- (2,1) -- cycle;
         \filldraw[cyan!80] (B) -- (A) -- (1,0.25) -- (D) -- cycle;
         \draw[domain=0.625:2.5, smooth, variable=\x, cyan] plot ({\x}, {1/(\x*\x)});
-        \node (G) at (4,2) {\color{cyan!50} Aire du rectangle égale à $\frac{1}{k}$};
-        \node (H) at (1.5,-1) {\color{cyan!80} Aire du rectangle égale à $\frac{1}{k+1}$};
+        \node (G) at (4,2) {\color{cyan!50} Aire du rectangle égale à $\frac{1}{k^\alpha}$};
+        \node (H) at (1.5,-1) {\color{cyan!80} Aire du rectangle égale à $\frac{1}{(k+1)^\alpha}$};
         \draw[cyan, ->] ($(G)-(0,0.2)$) to [out=-120,in=80] (1.75,0.75);
         \draw[cyan, ->] ($(H)+(0,0.2)$) to [out=120,in=-90] (1.5,0.125);
         \node at (A) {$\bullet$};
@@ -51,7 +51,7 @@
       \end{tikzpicture}
     \end{center}
     On a
-    \[ \forall k \geq 1, \, \frac{1}{k+1} \leq \int_k^{k+1} \frac{1}{x^\alpha} \, \mathrm{d}x \leq \frac{1}{k^\alpha} \]
+    \[ \forall k \geq 1, \, \frac{1}{(k+1)^\alpha} \leq \int_k^{k+1} \frac{1}{x^\alpha} \, \mathrm{d}x \leq \frac{1}{k^\alpha} \]
     D'où :
     \[ \forall k \geq 2, \, \int_k^{k+1} \frac{1}{x^\alpha} \, \mathrm{d}x \leq \frac{1}{k^\alpha} \leq \int_{k-1}^k \frac{1}{x^\alpha} \, \mathrm{d}x \]
     Soit $N \geq 2$. Pour tout $n \in \llbracket 2, N \rrbracket$,

content/latex/developpements/dual-de-lp.tex

@@ -52,15 +52,15 @@
     \varphi :
     \begin{array}{ll}
       L_q &\rightarrow (L_p)' \\
-      g &\mapsto \left( \varphi_g : f \mapsto \int_X f g \, \mathrm{d}\mu \right)
+      g &\mapsto \left( \varphi_g : f \mapsto \int_X f \overline{g} \, \mathrm{d}\mu \right)
     \end{array}
     \qquad \text{ où } \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1
     \]
     est une isométrie linéaire surjective. C'est donc un isomorphisme isométrique.
   \end{theorem}
 
   \begin{proof}
-    Soit $g \in L_q$ et $f \in L_p$. L'inégalité de Hölder donne
+    Soient $g \in L_q$ et $f \in L_p$. L'inégalité de Hölder donne
     \[ \vert \varphi_g(f) \vert \leq \Vert g \Vert_q \Vert f \Vert_p \]
     donc $\varphi_g \in (L_p)'$ et $\VERT \varphi_g \VERT \leq \Vert g \Vert_q$. De plus, si $g = 0$, alors $\VERT \varphi_g \VERT = \Vert g \Vert_q = 0$. On peut donc supposer $g \neq 0$.
     \newpar
@@ -73,16 +73,16 @@
     donc $\VERT \varphi_g \VERT = \Vert g \Vert_q$ et $\varphi$ est une isométrie.
     \newpar
     Montrons qu'elle est surjective. Soit $\ell \in (L_p)'$. D'après le \cref{dual-de-lp-1}, on a $L_2 \subseteq L_p$, donc on peut considérer la restriction $\widetilde{\ell} = \ell_{| L_2}$.
-    \[ \forall f \in L_2, \quad \vert \widetilde{\ell}(f) \vert \leq \Vert \ell \Vert \Vert f \Vert_p \leq M \Vert \ell \Vert \Vert f \Vert_2 \implies \widetilde{\ell} \in (L_2)' \]
+    \[ \forall f \in L_2, \quad \vert \widetilde{\ell}(f) \vert \leq \VERT \ell \VERT \Vert f \Vert_p \leq M \Vert \ell \Vert \Vert f \Vert_2 \implies \widetilde{\ell} \in (L_2)' \]
     Comme $L_2$ est un espace de Hilbert, on peut appliquer le théorème de représentation de Riesz à $\widetilde{\ell}$. Il existe $g \in L_2$ telle que
     \[ \forall f \in L_2, \quad \widetilde{\ell}(f) = \int_X f \overline{g} \, \mathrm{d}\mu \]
-    Pour conclure, il reste à montrer que $g \in L_q$ et que l'égalité précédente est vérifiée sur $L_p$. Comme dans précédemment, on considère $u$ de module $1$ telle que $g = u \vert g \vert$ et on pose $f_n = \overline{u} \vert g \vert^{q-1} \mathbb{1}_{\vert g \vert \leq n} \in L_\infty \subseteq L_2$. On a
-    \[ \int_X \vert g \vert^q \mathbb{1}_{\vert g \vert \leq n} \, \mathrm{d}\mu = \ell(f_n) \leq \Vert \ell \Vert \Vert f_n \Vert_p = \Vert \ell \Vert \left ( \int_X \vert g \vert^q \mathbb{1}_{\vert g \vert \leq n} \, \mathrm{d}\mu \right )^{\frac{1}{p}} \]
+    Pour conclure, il reste à montrer que $g \in L_q$ et que l'égalité précédente est vérifiée sur $L_p$. Comme précédemment, on considère $u$ de module $1$ telle que $g = u \vert g \vert$ et on pose $f_n = \overline{u} \vert g \vert^{q-1} \mathbb{1}_{\vert g \vert \leq n} \in L_\infty \subseteq L_2$. On a
+    \[ \int_X \vert g \vert^q \mathbb{1}_{\vert g \vert \leq n} \, \mathrm{d}\mu = \vert \ell(f_n) \vert \leq \Vert \ell \Vert \Vert f_n \Vert_p = \Vert \ell \Vert \left ( \int_X \vert g \vert^q \mathbb{1}_{\vert g \vert \leq n} \, \mathrm{d}\mu \right )^{\frac{1}{p}} \]
     D'où
-    \[ \left ( \int_X \vert g \vert^q \mathbb{1}_{\vert g \vert \leq n} \, \mathrm{d}\mu \right )^{\frac{1}{q}} = \left ( \int_X \vert g \vert^q \mathbb{1}_{\vert g \vert \leq n} \, \mathrm{d}\mu \right )^{1 - \frac{1}{p}} \leq \Vert \ell \Vert \]
+    \[ \left ( \int_X \vert g \vert^q \mathbb{1}_{\vert g \vert \leq n} \, \mathrm{d}\mu \right )^{\frac{1}{q}} = \left ( \int_X \vert g \vert^q \mathbb{1}_{\vert g \vert \leq n} \, \mathrm{d}\mu \right )^{1 - \frac{1}{p}} \leq \VERT \ell \VERT \]
     D'après le théorème de convergence monotone, on a
-    \[ \lim_{n \rightarrow +\infty} \left ( \int_X \vert g \vert^q \mathbb{1}_{\vert g \vert \leq n} \, \mathrm{d}\mu \right )^{\frac{1}{q}} = \left ( \int_X \vert g \vert^q \, \mathrm{d}\mu \right )^{\frac{1}{q}} = \Vert g \Vert_q \leq \Vert \ell \Vert \]
-    Et en particulier, $g \in L_q$. Ainsi, on a $\forall f \in L_2$, $\ell(f) = \varphi_g(f)$. Les applications $\ell$ et $\varphi_g$ sont continues sur $L_p$ et $L_2$ est dense dans $L_p$ (par le \cref{dual-de-lp-2}), donc on a bien $\ell = \varphi_g = \varphi(g)$.
+    \[ \lim_{n \rightarrow +\infty} \left ( \int_X \vert g \vert^q \mathbb{1}_{\vert g \vert \leq n} \, \mathrm{d}\mu \right )^{\frac{1}{q}} = \left ( \int_X \vert g \vert^q \, \mathrm{d}\mu \right )^{\frac{1}{q}} \leq \VERT \ell \VERT \]
+    Et en particulier, $g \in L_q$ de norme inférieure ou égale à $\VERT \ell \VERT$. Ainsi, on a $\forall f \in L_2$, $\ell(f) = \varphi_g(f)$. Les applications $\ell$ et $\varphi_g$ sont continues sur $L_p$ et $L_2$ est dense dans $L_p$ (par le \cref{dual-de-lp-2}), donc on a bien $\ell = \varphi_g = \varphi(g)$.
   \end{proof}
 
   \reference[LI]{140}

content/latex/developpements/equivalence-des-normes-en-dimension-finie-et-theoreme-de-riesz.tex

@@ -22,14 +22,14 @@
       \[ \vert x^{k+1}_n \vert \leq \Vert x_n \Vert_\infty \]
       $(x^{k+1}_{\varphi_1 \circ \dots \circ \varphi_k (n)})$ est une suite réelle bornée. Toujours par le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une extractrice $\varphi_{k+1}$ telle que $(x^{k+1}_{\varphi_1 \circ \dots \circ \varphi_{k+1}}(n))$ converge. D'où l'hérédité.
     \end{itemize}
-    La propriété est en particulier pour $k = n$. En posant $\varphi = \varphi_1 \circ \dots \circ \varphi_n$, on obtient une extractrice telle que
+    La propriété est en particulier vraie pour $k = n$. En posant $\varphi = \varphi_1 \circ \dots \circ \varphi_n$, on obtient une extractrice telle que
     \[ \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket, \, (x^i_{\varphi(n)}) \text{ converge} \]
     et on en déduit que $(x_{\varphi(n)})$ converge vers un réel $x \in \mathbb{R}^n$. Comme $X$ est fermé, $x \in X$. $X$ est donc séquentiellement compact, donc compact.
   \end{proof}
 
   \begin{proposition}
     \label{equivalence-des-normes-en-dimension-finie-et-theoreme-de-riesz-2}
-    Soient $(E,d_E)$, $(F,d_f)$ deux espaces métriques et $f : E \rightarrow F$ continue. Si $E$ est compact, alors $f(E)$ est compact dans $F$.
+    Soient $(E,d_E)$, $(F,d_F)$ deux espaces métriques et $f : E \rightarrow F$ continue. Si $E$ est compact, alors $f(E)$ est compact dans $F$.
   \end{proposition}
 
   \begin{proof}
@@ -53,15 +53,19 @@
     \[
       f :
       \begin{array}{ccc}
-        (\mathbb{R}^n, \Vert . \vert_\infty) &\rightarrow& (E, \mathcal{N}) \\
+        (\mathbb{R}^n, \Vert . \Vert_\infty) &\rightarrow& (E, \mathcal{N}) \\
         (x_1, \dots, x_n) &\mapsto& \sum_{i=1}^n x_i e_i
       \end{array}
     \]
     La fonction $f$ vérifie
-    \[ \forall x \in \mathbb{R}^n, \, \mathcal{N}(f(x)) \leq \alpha \Vert x \vert_\infty \]
-    c'est une application linéaire bornée, qui est donc continue. Comme elle est bijective, l'ensemble
-    \[ S_E = \{ x \in E \mid \mathcal{N}_\infty(x) = 1 \} = f(S) \]
-    où $S$ désigne la sphère unité de $(\mathbb{R}^n, \Vert. \Vert_\infty)$, qui est compacte d'après le \cref{equivalence-des-normes-en-dimension-finie-et-theoreme-de-riesz-1}. D'après le \cref{equivalence-des-normes-en-dimension-finie-et-theoreme-de-riesz-2}, $S_E$ est compacte comme image d'un compact par une application continue.  L'application $\mathcal{N} : E \rightarrow \mathbb{R}$ est continue car lipschitzienne ($\forall x, y \in E, \, \vert \mathcal{N}(x) - \mathcal{N}(y) \vert \leq \mathcal{N}(x - y)$), donc est bornée et atteint ses bornes sur la sphère $S_E$. On note $x_0 \in E$ ce minimum :
+    \[ \forall x \in \mathbb{R}^n, \, \mathcal{N}(f(x)) \leq \alpha \Vert x \Vert_\infty \]
+    c'est une application linéaire bornée, qui est donc continue. On considère l'ensemble
+    \[ S_E = f(S) \]
+    où $S$ désigne la sphère unité de $(\mathbb{R}^n, \Vert. \Vert_\infty)$ qui est compacte d'après le \cref{equivalence-des-normes-en-dimension-finie-et-theoreme-de-riesz-1}. D'après le \cref{equivalence-des-normes-en-dimension-finie-et-theoreme-de-riesz-2}, $S_E$ est compacte comme image d'un compact par une application continue.
+    \newpar
+    Montrons que $S_E$ est la sphère unité de $(E, \mathcal{N}_\infty)$. Déjà, si $x \in S$, alors $\mathcal{N}_\infty(f(x)) = \Vert x \Vert_\infty = 1$, d'où l'inclusion directe. Pour l'inclusion réciproque, si $y \in S_E$, par bijectivité de $f$, on peut écrire $y = f^{-1}(x)$ avec $x \in \mathbb{R}^n$ et ainsi $\Vert x \Vert_\infty = \mathcal{N}_\infty(f(x)) = 1$.
+    \newpar
+    L'application $\mathcal{N} : E \rightarrow \mathbb{R}$ est continue car lipschitzienne ($\forall x, y \in E, \, \vert \mathcal{N}(x) - \mathcal{N}(y) \vert \leq \mathcal{N}(x - y)$), donc est bornée et atteint ses bornes sur la sphère $S_E$. On note $x_0 \in E$ ce minimum :
     \[ \forall x \in E \text{ tel que } \mathcal{N}_\infty(x) = 1, \text{ on a } \mathcal{N}(x) \geq \underbrace{\mathcal{N}(x_0)}_{= \beta} \]
     Ainsi,
     \[ \forall x \in E, \mathcal{N} \left(\frac{x}{\mathcal{N}_\infty(x)} \right) \geq \beta \text{ ie. } \mathcal{N}(x) \geq \beta \mathcal{N}_\infty(x) \]
@@ -73,18 +77,18 @@
   \end{theorem}
 
   \begin{proof}
-    Notons $\overline{B}$ la boule unité fermée de $E$ et supposons $E$ de dimension finie $n \in \mathbb{N}$. Comme dans la démonstration du théorème précédent, $\overline{B}$ est compacte comme image de la boule unité fermée de $\mathbb{R}^n$ par l'application continue $f$. Réciproquement, supposons $E$ de dimension finie et, par l'absurde, également que $\overline{B}$ est compacte. On a,
+    Notons $\overline{B}$ la boule unité fermée de $E$ et supposons $E$ de dimension finie $n \in \mathbb{N}$. Comme dans la démonstration du théorème précédent, $\overline{B}$ est compacte comme image de la boule unité fermée de $(\mathbb{R}^n, \Vert . \Vert_\infty)$ par l'application continue $f$. Réciproquement, supposons $E$ de dimension finie et, par l'absurde, également que $\overline{B}$ est compacte. On a,
     \[ \overline{B} \subseteq \bigcup_{x \in E} B(x,1) \]
     où $B(x,1)$ désigne la boule ouverte centrée en $x$ de rayon $1$. Par la propriété de Borel-Lebesgue, il existe $x_1, \dots, x_n \in E$ tels que
     \[ \overline{B} \subseteq \bigcup_{i=1}^n B(x_i,1) \]
     On définit $F = \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_n)$. Comme $F$ est de dimension finie et $E$ de dimension infinie, on peut trouver $y \in E \setminus F$. Soit $x_0 \in F$ le projeté de $y$ sur $F$ :
-    \[ d(y, F) = \Vert y - x_0 \Vert \]
+    \[ d(y, F) = \Vert y - x_0 \Vert > 0 \]
     On pose
     \[ u = \frac{y - x_0}{\Vert y - x_0 \Vert} \]
     On a $u$ de norme $1$, donc $u \in \overline{B}$ et il existe $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$ tel que $\Vert u - x_i \Vert < 1$. Or,
     \begin{align*}
       \Vert u - x_i \Vert &= \frac{\Vert y - x_0 - \Vert y - x_0 \Vert x_i \Vert}{\Vert y - x_0 \Vert} \\
-      &= \frac{\Vert y - (x_0 - \Vert y - x_0 \Vert x_i) \Vert}{\Vert y - x_0 \Vert} \\
+      &= \frac{\Vert y - (x_0 - \Vert y + x_0 \Vert x_i) \Vert}{\Vert y - x_0 \Vert} \\
       &\geq \frac{d(y, F)}{\Vert y - x_0 \Vert} \\
       &= 1
     \end{align*}

content/latex/developpements/formes-de-hankel.tex

@@ -27,7 +27,7 @@
 
   \begin{proof}
     $\sigma$ est un polynôme homogène de degré $2$ sur $\mathbb{C}$ (car la somme des exposants est $2$ pour chacun des monômes), qui définit donc une forme quadratique sur $\mathbb{C}^n$. De plus, on peut écrire :
-    \[ \forall k \geq 1, \, s_k = \sum_{\substack{x \text{ racine de P} \\ x \in \mathbb{R}}} m_k x^k + \sum_{\substack{x \text{ racine de P} \\ x \in \mathbb{C}}} m_k (x^k + \overline{x}^k) \]
+    \[ \forall k \geq 1, \, s_k = \sum_{\substack{x_i \text{ racine de P} \\ x_i \in \mathbb{R}}} m_i x^i + \sum_{\substack{x \text{ racine de P} \\ x_i \in \mathbb{C}}} m_i (x^i + \overline{x}^k) \]
     donc $s_k = \overline{s_k}$ ie. $s_k \in \mathbb{R}$. Donc $\sigma$ définit une forme quadratique $\sigma_{\mathbb{R}}$ sur $\mathbb{R}^n$. D'où le premier point.
     \newpar
     Soit $\varphi_k$ la forme linéaire sur $\mathbb{C}^n$ définie par le polynôme homogène de degré $1$
@@ -36,16 +36,16 @@
     \[ \varphi_k = e_0^* + x_k e_1^* + \dots + x_k^{n-1} e_{n-1}^* \]
     Et comme
     \[ \det((\varphi_k)_{k \in \llbracket 0, t \rrbracket}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_0 & x_1 & \dots & x_t \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ x_0^{n-1} & x_1^{n-1} & \dots & x_t^{n-1} \end{vmatrix} \overset{\text{Vandermonde}}{\neq} 0 \]
-    la famille $(\varphi_k)_{k \in \llbracket 0, t \rrbracket}$ est de rang $t$ sur $\mathbb{C}$. Or, le coefficient de $X_i X_j$ dans $\sum_{k=1}^t m_k \varphi_k^2$ vaut
+    la famille $(\varphi_k)_{k \in \llbracket 0, t \rrbracket}$ est de rang $t$ sur $\mathbb{C}$. Or, le coefficient de $X_i X_j$ dans $\sum_{k=1}^t m_k P_k^2$ vaut
     \[ \begin{cases} \sum_{k=1}^t m_k x_k^{2i} = s_{i+j} &\text{ si } i=j \\ \sum_{k=1}^t 2 m_k x_k^i x_k^j = \sum_{k=1}^t 2 m_k x_k^{i+j} = 2s_{i+j} &\text{ sinon} \end{cases} \]
-    donc, $\sigma = \sum_{k=1}^t m_k \varphi_k^2$. En particulier, $\rang (\sigma) = t$ par indépendant des $\varphi_k$. On en déduit,
-    \[ p+q = \rang(\sigma) = \rang(\sigma_{\mathbb{R}}) = t \]
+    donc, $\sigma = \sum_{k=1}^t m_k \varphi_k^2$. En particulier, $\rang (\sigma) = t$ par indépendance des $\varphi_k$. On en déduit,
+    \[ p+q = \rang(\sigma_{\mathbb{R}}) = \rang(\sigma) = t \]
     (le rang est invariant par extension de corps).
     \newpar
     Soit $k \in \llbracket 0, t \rrbracket$. Calculons la signature de la forme quadratique $\varphi_k^2 + \overline{\varphi_k}^2$ :
     \begin{itemize}
       \item Si $x_k \in \mathbb{R}$, on a $\varphi_k^2 + \overline{\varphi_k}^2 = 2 \varphi_k^2$, qui est de signature $(1, 0)$ car $\varphi_k \neq 0$.
-      \item Si $x_k \notin \mathbb{R}$, on a $\varphi_k^2 + \overline{\varphi_k}^2 = 2 \operatorname{Re}(\varphi_k)^2 - 2 \operatorname{Im}(\varphi_k)^2$ qui est bien une forme quadratique réelle. Et $x_k = \overline{x_k}$, donc la matrice
+      \item Si $x_k \notin \mathbb{R}$, on a $\varphi_k^2 + \overline{\varphi_k}^2 = 2 \operatorname{Re}(\varphi_k)^2 - 2 \operatorname{Im}(\varphi_k)^2$ qui est bien une forme quadratique réelle. Et $x_k \neq \overline{x_k}$, donc la matrice
       \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ x_k & \overline{x_k} \\ \vdots & \vdots \\ x_k^{n-1} & \overline{x_k}^{n-1} \end{pmatrix} \]
       est de rang $2$ (cf. le mineur correspondant aux deux premières lignes). Donc $\varphi_k$ et $\overline{\varphi_k}$ sont indépendantes. Ainsi, $\rang(\varphi_k^2 + \overline{\varphi_k}^2) = 2$ sur $\mathbb{C}$, donc sur $\mathbb{R}$ aussi (toujours par invariance du rang par extension de corps). Donc la signature de $\varphi_k^2 + \overline{\varphi_k}^2$ est $(1, 1)$.
     \end{itemize}

content/latex/developpements/formule-de-stirling.tex

@@ -38,10 +38,10 @@
 	\begin{proof}
 		Soit $f_{a,\gamma} : x \mapsto \frac{\gamma^a}{\Gamma(a)} x^{a-1} e^{-\gamma x} \mathbb{1}_{\mathbb{R}^+}(x)$ la densité de la loi $\Gamma(a, \gamma)$. $\forall x \geq 0$, on a :
 		\begin{align*}
-			f_Z(x) & = \int_0^x f_{a, \gamma}(x-t)f_{b, \gamma}(t) \, \mathrm{d}t \\
+			f_Z(x) & = \int_0^x f_{a, \gamma}(t)f_{b, \gamma}(x-t) \, \mathrm{d}t \\
 			& = \int_0^x \frac{\gamma^a}{\Gamma(a)} t^{a-1} e^{-\gamma t} \frac{\gamma^b}{\Gamma(b)} (x-t)^{b-1} e^{-\gamma (x-t)} \, \mathrm{d}t \\
 			& = \frac{\gamma^{a+b} e^{-\gamma x}}{\Gamma(a) \Gamma(b)} \int_0^x t^{a-1} (x-t)^{b-1} \, \mathrm{d}t \\
-			& \overset{t=ux}{=} \frac{\gamma^{a+b} e^{-\gamma x}}{\Gamma(a) \Gamma(b)} x^{a+b-1} \int_0^1 u^{a-1} (x-t)^{b-1} \, \mathrm{d}t \\
+			& \overset{t=ux}{=} \frac{\gamma^{a+b} e^{-\gamma x}}{\Gamma(a) \Gamma(b)} x^{a+b-1} \int_0^1 u^{a-1} (1-u)^{b-1} \, \mathrm{d}t \\
 			& = K_{a,b} f_{a+b, \gamma}(x)
 		\end{align*}
 		où $K_{a,b} = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} \int_0^1 u^{a-1} (1-u)^{b-1} \, \mathrm{d}u$. Notons par ailleurs que $f_Z$ est nulle sur $\mathbb{R}^-$ et coïncide donc avec $K_{a,b} f_{a+b, \gamma}$ sur $\mathbb{R}^-$.
@@ -76,7 +76,7 @@
 		\end{itemize}
 		\medskip
 		Montrons maintenant que $\frac{S_n - n}{\sqrt{n}}$ converge en loi vers $\mathcal{N}(0,1)$. D'après le théorème central limite,
-		\[ \frac{S_n - \mathbb{E}(S_n)}{\operatorname{Var}(S_n)} \overset{(d)}{\longrightarrow} \mathcal{N}(0,1) \]
+		\[ \frac{S_n - \mathbb{E}(S_n)}{\sqrt{\operatorname{Var}(S_n)}} \overset{(d)}{\longrightarrow} \mathcal{N}(0,1) \]
 		où :
 		\begin{itemize}
 			\item $\mathbb{E}(S_n) = (n+1) \mathbb{E}(X_0) = n+1$.

content/latex/developpements/formule-sommatoire-de-poisson.tex

@@ -20,13 +20,11 @@
     Comme $f(x) = O \left( \frac{1}{x^2} \right)$, il existe $M > 0$ et $A > 0$ tel que
     \[ \forall |x| > A, \, |f(x)| \leq \frac{M}{x^2} \tag{$*$} \]
     Soit $K > 0$. On a $\forall x \in [-K, K]$, $\forall n \in \mathbb{Z}$ tel que $|n| > K + A$ :
-    \[ |f(x+n)| \overset{(*)}{\leq} \frac{M}{(x+n)^2} \leq \frac{M}{(|n| - K)^2} \]
+    \[ |f(x+n)| \overset{(*)}{\leq} \frac{M}{(x+n)^2} \leq \frac{M}{(\vert n \vert - \vert x \vert)^2} \leq \frac{M}{(|n| - K)^2} \]
     Donc $\sum_{n \in \mathbb{Z}} f(x+n)$ converge normalement sur tout segment de $\mathbb{R}$ donc converge simplement sur $\mathbb{R}$. On note $F$ la limite simple en question.
-
-    \medskip
+    \newpar
     On montre de même que $\sum_{n \in \mathbb{Z}} f'(x+n)$ converge normalement sur tout segment de $\mathbb{R}$. Donc par le théorème de dérivation des suites de fonctions, $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur tout segment de $\mathbb{R}$, donc sur $\mathbb{R}$ tout entier (la continuité et la dérivabilité sont des propriétés locales).
-
-    \medskip
+    \newpar
     Soit $x \in \mathbb{R}$. On a :
     \begin{align*}
       \forall N \in \mathbb{N}, &\, \sum_{n=-N}^N f(x+1+n) = \sum_{n=-N-1}^{N+1} f(x+n) \\