Une petite correction.

content/latex/developpements/equation-de-sylvester.tex

@@ -41,7 +41,7 @@
   \begin{proof}
     Comme l'application $\varphi : X \mapsto AX + XB$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, qui est un espace vectoriel de dimension finie, il suffit de montrer qu'elle est surjective pour obtenir l'injectivité (et donc l'unicité de la solution). Soit $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. On considère le problème de Cauchy suivant d'inconnue $Y : \mathbb{R} \rightarrow \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ :
     \[ \begin{cases} Y' = AY + YB \\ Y(0) = C \end{cases} \tag{$E$} \]
-    Il s'agit d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants (on peut voir cela notamment en calculant les produits $AY$ et $YB$ et en effectuant la somme ; l'égalité matricielle avec $C$ donnant le système d'équations voulu). D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, $(E)$ admet une unique solution définie sur $\mathbb{R}$ tout entier, que l'on note $Y$.
+    Il s'agit d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants (on peut voir cela notamment en calculant les produits $AY$ et $YB$ et en effectuant la somme ; l'égalité matricielle avec $Y'$ donnant le système d'équations voulu). D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, $(E)$ admet une unique solution définie sur $\mathbb{R}$ tout entier, que l'on note $Y$.
     \newpar
     On vérifie que la solution est définie $\forall t \in \mathbb{R}$ par $Y(t) = \exp(tA) C \exp(tB)$. En effet pour tout $t \in \mathbb{R}$, on a :
     \[ Y'(t) = A \exp(tA) C \exp(tB) + \exp(tA) CB \exp(tB) = AY + YB \]