Des corrections.

content/latex/developpements/connexite-des-valeurs-d-adherence-d-une-suite-dans-un-compact.tex

@@ -31,7 +31,7 @@
       \item Soit $x_0 \in A$. Comme $x_0$ est valeur d'adhérence de $(u_n)$, $\exists n_1 > N$ tel que $d(x_0, u_{n_1}) < \frac{\alpha}{3}$. Donc $u_{n_1} \in A'$.
       \item Soit $y_0 \in B$. De même, $\exists n_2 > n_1$ tel que $d(y_0, u_{n_2}) < \frac{\alpha}{3}$. Donc $u_{n_2} \in B'$.
     \end{itemize}
-    Soit maintenant $n_0$ le premier entier supérieur à $n_1$ tel que $u_{n_0} \notin A'$ (un tel entier existe car $u_{n_2} \in A'$). On a alors $u_{n_0 - 1} \in A'$.
+    Soit maintenant $n_0$ le premier entier supérieur à $n_1$ tel que $u_{n_0} \notin A'$ (un tel entier existe car $u_{n_2} \notin A'$). On a alors $u_{n_0 - 1} \in A'$.
     \begin{center}
       \begin{tikzpicture}[scale=1, pics/a/.style n args={3}{code={\draw [thick, fill=#1, fill opacity=0.3, scale=#2, shift={#3}]  plot[smooth, tension=.7] coordinates {(-3,2.5) (-3.5,2.2) (-4.2,1) (-2,0.8) (-1.2,2) (-3,2.5)};}}, pics/b/.style n args={3}{code={\draw [thick, fill=#1, fill opacity=0.3, scale=#2, shift={#3}]  plot[smooth, tension=.7] coordinates {(-1.95,-0.35) (-2.5,-0.7) (-3.4,-1.9) (-1,-2) (-0.1,-0.05) (-1.95,-0.35)};}}]
         \draw [thick, fill=black, fill opacity=0.05]  plot[smooth, tension=.7] coordinates {(-4,2.5) (-3,3) (-2,2.8) (-0.8,2.5) (-0.5,1.5) (0.5,0) (0,-2) (-1.5,-2.5) (-4,-2) (-3.5,-0.5) (-5,1) (-4,2.5)};

content/latex/developpements/critere-d-eisenstein.tex

@@ -95,10 +95,10 @@
     \[ a^2 \gamma(P) = \gamma(U_1) \gamma(V_1) \tag{$*$} \]
     En factorisant, on écrit $U_1 = \gamma(U_1) U_2$ et $V_1 = \gamma(V_1) V_2$ avec $U_2, V_2 \in A[X]$. Il vient :
     \[ a^2 P = \gamma(U_1) \gamma(V_1) U_2 V_2 \overset{(*)}{=} a^2 \gamma(P) U_2 V_2 \]
-    Et comme $a \in A \setminus \{ 0 \}$ et que $A$ est intègre, on a $P = \gamma(P) U_2 V_2$ avec $U_2$, $V_2 \in A[X]$ de degré supérieur ou égal à $1$.
+    Et comme $a \in A \setminus \{ 0 \}$ et que $A$ est intègre, on a $P = \gamma(P) U_2 V_2 = U_3 V_3$ avec $U_3 = \gamma(P) U_2 \in A[X]$ et $V_3 = V_2 \in A[X]$ (dans un souci de symétrie des notations) qui sont de degré supérieur ou égal à $1$.
     \newpar
-    On pose $U_2 = \sum_{i=0}^r b_i X^i$ et $V_2 = \sum_{j=0}^s c_j X^j$ avec $b_r c_s = a_n \neq 0$ par définition de $P$. Dans $A/(p)$, on a
-    \[ \underbrace{\overline{P}}_{= \overline{a_n} X^n} = \overline{U_2 V_2} = \overline{U_2} \, \overline{V_2} \]
+    On pose $U_3 = \sum_{i=0}^r b_i X^i$ et $V_3 = \sum_{j=0}^s c_j X^j$ avec $b_r c_s = a_n \neq 0$ par définition de $P$. Dans $A/(p)$, on a
+    \[ \underbrace{\overline{P}}_{= \overline{a_n} X^n} = \overline{U_3 V_3} = \overline{U_3} \, \overline{V_3} \]
     et en particulier, le terme de degré $0$, $\overline{b_0 c_0} = \overline{b_0} \overline{c_0}$ est nul. Mais, $p$ est irréductible et $A$ est factoriel, donc au vu du \cref{critere-d-eisenstein-3}, $(p)$ est premier et $A/(p)$ est intègre par le \cref{critere-d-eisenstein-1}. Donc par le \cref{critere-d-eisenstein-2}, $A/(p)[X]$ est aussi intègre. D'où $\overline{b_0} = 0$ ou $\overline{c_0} = 0$ (mais pas les deux car sinon $p^2 \mid b_0 c_0 = a_0$, ce qui serait en contradiction avec le \cref{critere-d-eisenstein-9}).
     \newpar
     On suppose donc $\overline{b_0} = 0$ et $\overline{c_0} \neq 0$. Si on avait $\forall i \in \llbracket 0, r \rrbracket$, $\overline{b_i} = 0$, on aurait en particulier $\overline{b_r} = 0$, et donc $\overline{b_r} \overline{c_s} = \overline{a_n} = 0$ (exclu par le \cref{critere-d-eisenstein-8}). Donc,

content/latex/developpements/decomposition-polaire.tex

@@ -65,7 +65,7 @@
       \[ S^2 = \tr M M = \tr (O'S') O'S' = \tr S' \tr O' O' S' = S'^{2} \]
       Soit $Q$ un polynôme tel que $\forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket$, $Q(\lambda_i) = \sqrt{\lambda_i}$ (les polynômes d'interpolation de Lagrange conviennent parfaitement). Alors,
       \[\ S = PD \tr P = PQ \left(D^2 \right) \tr P = Q \left(PD^2 \tr P \right) = Q \left(\tr M M \right) = Q \left(S^2 \right) = Q \left(S'^2 \right) \]
-      Mais $S'$ commute avec $S'^2$, donc avec $S = Q \left(S'^2 \right)$. En particulier, $S$ et $S'$ sont codiagonalisables, il existe $P_0 \in \mathbb{GL}_n(\mathbb{R})$ et $\mu_1, \dots, \mu_n, \mu'_1, \dots, \mu'_n \in \mathbb{R}$ tels que
+      Mais $S'$ commute avec $S'^2$, donc avec $S = Q \left(S'^2 \right)$. En particulier, $S$ et $S'$ sont codiagonalisables, il existe $P_0 \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ et $\mu_1, \dots, \mu_n, \mu'_1, \dots, \mu'_n \in \mathbb{R}$ tels que
       \[ S = P_0 \operatorname{Diag}(\mu_1, \dots, \mu_n) P_0^{-1} \text{ et } S' = P_0 \operatorname{Diag} \left (\mu'_1, \dots, \mu'_n \right) P_0^{-1} \]
       d'où :
       \begin{align*}
@@ -81,7 +81,7 @@
       \[ \overline{S} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \, \cap \, \mathcal{S}_n^{+}(\mathbb{R}) \]
       et par le \cref{decomposition-polaire-2},
       \[ \overline{S} \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}) \]
-      Par unicité de la décomposition polaire, on a $M = \overline{O} \overline{S}$, d'où $\overline{O} = O$ et $\overline{S} = S$.
+      On a $M = \overline{O} \overline{S}$, d'où, par unicité de la décomposition polaire, $\overline{O} = O$ et $\overline{S} = S$.
     \end{itemize}
   \end{proof}
 

content/latex/developpements/dimension-du-commutant.tex

@@ -46,7 +46,7 @@
       &\iff P^{-1}XP \in \mathcal{C}(T) \\
     \end{align*}
     et puisque $X \mapsto P^{-1}XP$ est un isomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, on a
-    \[ \dim_{\mathbb{K}}(A) = \dim_{\mathbb{K}}(T) \]
+    \[ \dim_{\mathbb{K}}(\mathcal{C}(A)) = \dim_{\mathbb{K}}(\mathcal{C}(T)) \]
     donc on peut tout à fait se ramener au cas où $A$ est triangulaire supérieure.
     \newpar
     Enfin, si $A$ n'est pas trigonalisable, on considère $\mathbb{L}$ une extension de $\mathbb{K}$ sur laquelle $\chi_A$ est scindé. L'application