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content/latex/developpements/densite-des-polynomes-orthogonaux.tex

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     \forall x \in \mathbb{R}, \quad \varphi(x) = \begin{cases} f(x) \rho(x) &\text{si } x \in I \\ 0 &\text{sinon} \end{cases}
     \]
     Montrons que $\varphi \in L_1(\mathbb{R})$. Remarquons tout d'abord que $\forall t \geq 0$, $t \leq \frac{1 + t^2}{2}$. Ainsi, on a
-    \[ \forall x \in I, \quad |f(x)|\rho(x) \leq \frac{(1 + |f(x)|)^2}{2} \rho(x) \]
+    \[ \forall x \in I, \quad |f(x)|\rho(x) \leq \frac{1 + |f(x)|^2}{2} \rho(x) \]
     Comme $\rho$ et $\rho f^2$ sont intégrables sur $I$, on en déduit que $\varphi \in L_1(\mathbb{R})$. On peut donc considérer sa transformée de Fourier
     \[ \widehat{\varphi} : \xi \mapsto \int_I f(x) e^{-i \xi x} \rho(x) \, \mathrm{d}x \]
     Montrons que $\widehat{\varphi}$ se prolonge en une fonction $F$ holomorphe sur

content/latex/developpements/dual-de-lp.tex

@@ -10,7 +10,7 @@
   Soit $(X, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré de mesure finie.
 
   \begin{notation}
-    On note $\forall p \in [1, 2]$, $L_p = L_p(X, \mathcal{A}, \mu)$.
+    On note $\forall p \in ]1, 2[$, $L_p = L_p(X, \mathcal{A}, \mu)$.
   \end{notation}
 
   \begin{lemma}

content/latex/developpements/equation-de-sylvester.tex

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       \VERT e^{tD} \VERT &= \VERT e^{tP \operatorname{Diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) P^{-1}} \VERT \\
       & = \VERT P e^{t \operatorname{Diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)} P^{-1} \VERT \\
       & \leq \underbrace{\VERT P \VERT \VERT P^{-1} \VERT}_{= \alpha} \sup_{\Vert x \Vert_\infty = 1} \Vert \operatorname{Diag}(e^{t \lambda_1}, \dots, e^{t \lambda_n}) x \Vert_{\infty} \\
-      & \leq \alpha \sup_{i \in \llbracket 1, n \rrbracket} e^{t\lambda_i} \\
+      & \leq \alpha \sup_{i \in \llbracket 1, n \rrbracket} \vert e^{t\lambda_i} \vert \\
       & \leq \alpha e^{-\lambda t}
     \end{align*}
     où $\lambda > 0$ par hypothèse. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, donc il existe $\beta > 0$ tel que $\VERT e^{tD} \VERT \leq \beta e^{- \lambda t}$.
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     \[ \Vert Y(t) \Vert = \Vert e^{tA} C e^{tB} \Vert \leq \Vert C \Vert P(t) e^{-2 \lambda t} \]
     En particulier, on a bien $Y(t) \longrightarrow 0$. De plus, comme $C P(t) e^{-2 \lambda t}$ est intégrable sur $[0, +\infty[$ et domine $\Vert Y(t) \Vert$, alors $Y$ est aussi intégrable $[0, +\infty[$. Finalement, en faisant $t \longrightarrow +\infty$, on obtient :
     \[ -C = A \times \int_{0}^{+\infty} Y(s) \, \mathrm{d}s + \int_{0}^{+\infty} Y(s) \, \mathrm{d}s \times B \]
-    Donc $\varphi(X) = X$ : $\varphi$ est surjective et $X$ est bien la solution de l'équation de Sylvester.
+    Donc $\varphi(X) = C$ : $\varphi$ est surjective et $X$ est bien la solution de l'équation de Sylvester.
   \end{proof}
 
   \reference[GOU21]{189}