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   \end{proof}
 
   \begin{theorem}[Loi d'inertie de Sylvester]
-    \[ \exists p, q \in \mathbb{N} \text{ et } \exists f_1, \dots, f_{p+q} \in E^* \text{ tels que } \Phi = \sum_{i=1}^p |f_i|^2 - \sum_{i=p+1}^q |f_i|^2 \]
+    \[ \exists p, q \in \mathbb{N} \text{ et } \exists f_1, \dots, f_{p+q} \in E^* \text{ tels que } \Phi = \sum_{i=1}^p |f_i|^2 - \sum_{i=p+1}^{p+q} |f_i|^2 \]
     où les formes linéaires $f_i$ sont linéairement indépendantes et où $p + q \leq n$. De plus, ces entiers ne dépendent que de $\Phi$ et pas de la décomposition choisie.
     \newpar
     Le couple $(p,q)$ est la \textbf{signature} de $\Phi$ et le rang $\Phi$ est égal à $p+q$.
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     \[ \forall x \in E \text{ que l'on écrit } x = x_1 e_1 + \dots + x_n e_n, \, \Phi(x) = \sum_{i=1}^n |x_i|^2 \Phi(e_i) = \sum_{i=1}^n \lambda_i |x_i|^2 \]
     Chaque $\lambda_i$ est strictement positif, strictement négatif, ou nul. Quitte à les réordonner, on peut supposer
     \[ \lambda_1, \dots, \lambda_p > 0, \lambda_{p+1}, \dots, \lambda_{p+q} < 0, \text{ et } \lambda_{p+q+1} = \dots = \lambda_n = 0 \]
-    Pour $i \in \llbracket 1, p \rrbracket$, on peut écrire $\lambda_i = \omega_i^2$ et pour $i \in \llbracket p+1, q \rrbracket$, on peut écrire $\lambda_i = -\omega_i^2$ où les $\omega_i \in \mathbb{R}^*$. On définit :
+    Pour $i \in \llbracket 1, p \rrbracket$, on peut écrire $\lambda_i = \omega_i^2$ et pour $i \in \llbracket p+1, p+q \rrbracket$, on peut écrire $\lambda_i = -\omega_i^2$ où les $\omega_i \in \mathbb{R}^*$. On définit :
     \[ \forall i \in \llbracket 1, q \rrbracket, f_i = \omega_i e_i^* \]
     Ainsi définies, les formes linéaires $f_i$ sont linéairement indépendantes et on obtient bien :
     \[ \Phi = \sum_{i=1}^p |f_i|^2 - \sum_{i=p+1}^q |f_i|^2 \tag{$*$} \]