Skip to content

Commit

Permalink
chapter3 finished and fixed some bugs
Browse files Browse the repository at this point in the history
  • Loading branch information
@bestmahdi2
bestmahdi2 committed Aug 29, 2023
1 parent efca206 commit 49ebdb9
Show file tree
Hide file tree
Showing 5 changed files with 217 additions and 215 deletions.
8 changes: 4 additions & 4 deletions BookFiles/0.0.commands.tex
View file
Original file line number Diff line number Diff line change
Expand Up @@ -79,11 +79,11 @@

% ----- Examples ----- %

\newcounter{example}[chapter]\setcounter{example}{0}
\renewcommand{\theexmp}{\arabic{example}.\arabic{chapter}}
\newcounter{exmp}[chapter]\setcounter{exmp}{0}
\renewcommand{\theexmp}{\arabic{exmp}.\arabic{chapter}}

\newenvironment{example}[2][]{
\refstepcounter{example}
\newenvironment{exmp}[2][]{
\refstepcounter{exmp}
\ifstrempty{#1}
{\mdfsetup{
frametitle={
Expand Down
33 changes: 19 additions & 14 deletions BookFiles/4.1.1.Session.tex
View file
Original file line number Diff line number Diff line change
Expand Up @@ -51,6 +51,11 @@ \part{پیشنیاز‌های ریاضی}
}

\setcounter{chapter}{1}
\setcounter{section}{0}
\setcounter{point}{0}
\setcounter{eqtn}{0}
\setcounter{exmp}{0}
\setcounter{hint}{0}


\chapter{\lr{\textbf{جبر برداری}}}
Expand Down Expand Up @@ -230,7 +235,7 @@ \subsection{\textbf{عملیات بردار پایه}}
\end{enumerate}

\textbf{\vspace{-10pt}}
\begin{example}{exp:1.1}
\begin{exmp}{exmp:1.1}
\Large
فرض کنید $\textbf{u}=(1,2,3), \textbf{v}=(1,2,3), \textbf{w}=(3,0,-2), k=2$
\lr{
Expand All @@ -242,10 +247,10 @@ \subsection{\textbf{عملیات بردار پایه}}
\end{enumerate}
}
تفاوتی که در مورد سوم هست، یک بردار خاص به نام بردار صفر را نشان می‌دهد که همه اجزای آن صفر است و با $\textbf{0}$ نشان داده می‌شود.
\end{example}
\end{exmp}

\textbf{\vspace{-20pt}}
\begin{example}{exp:1.2}
\begin{exmp}{exmp:1.2}
\Large
ما این مثال را با بردارهای دوبعدی برای ساده‌تر کردن کار توضیح می‌دهیم. ایده‌ها مانند فضای سه‌بعدی هستند، فقط با یک جزء کمتر، به صورت دو‌بعدی کار می‌کنیم.\\
\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*}.]
Expand Down Expand Up @@ -290,7 +295,7 @@ \subsection{\textbf{عملیات بردار پایه}}
\caption{نیروهای اعمال شده به یک توپ. نیروها با استفاده از جمع بردار ترکیب می‌شوند تا نیروی برآیند به دست آید. \textbf{\vspace{10pt}}}
\label{fig:4.Session.1.1.7}
\end{figure}
\end{example}
\end{exmp}
\end{spacing}
}

Expand Down Expand Up @@ -345,7 +350,7 @@ \section{\textbf{بردارهای طول و واحد}}

پس $\hat{\textbf{u}}$ در واقع یک بردار واحد است.

\begin{example}{exp:1.3}
\begin{exmp}{exmp:1.3}
بردار $\textbf{v}=(-1,3,4)$ را نرمال کنید. داریم $\norm{\textbf{v}}=\sqrt{\displaystyle (-1)^2+3^2+4^2}=\sqrt{\displaystyle 26}$. پس:

\begin{center}
Expand All @@ -360,7 +365,7 @@ \section{\textbf{بردارهای طول و واحد}}
\left(\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle\sqrt{\displaystyle 26}}\right)^2, \left(\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle\sqrt{\displaystyle 26}}\right)^2}=
\sqrt{\displaystyle\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 26}+\frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 26}+\frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 26}}=\sqrt{\displaystyle 1}=1$
\end{center}
\end{example}
\end{exmp}
\end{spacing}
}

Expand All @@ -384,7 +389,7 @@ \section{\textbf{ضرب داخلی}}
به عبارت دیگر، ضرب داخلی مجموع ضرب‌های اجزای مربوطه ست.

همچنین تعریف ضرب داخلی معنای هندسی آشکاری ارائه نمی‌دهد.
با استفاده از قانون کسینوس (به تمرین \hyperref[question:1.10]{\ref{question:1.10}.1} مراجعه کنید)، می‌توانیم رابطه‌ای را پیدا کنیم که در آن $\theta$ زاویه بین بردارهای $\textbf{u}$ و $\textbf{v}$ است به طوری که $0\leq\theta\leq\pi$؛ شکل \ref{fig:4.Session.1.1.9} را ببینید.
با استفاده از قانون کسینوس (به تمرین \hyperref[question:1.10]{\ref{question:1.10}1} مراجعه کنید)، می‌توانیم رابطه‌ای را پیدا کنیم که در آن $\theta$ زاویه بین بردارهای $\textbf{u}$ و $\textbf{v}$ است به طوری که $0\leq\theta\leq\pi$؛ شکل \ref{fig:4.Session.1.1.9} را ببینید.

\begin{eqtn}{eqtn:1.4}
\centering
Expand Down Expand Up @@ -414,7 +419,7 @@ \section{\textbf{ضرب داخلی}}
\item {اگر $\textbf{u}\cdot\textbf{v}<0$، در نتیجه زاویه‌ی بین $\theta$ و دو بردار بیشتر از 90 درجه ست (یعنی بردار‌ها با هم زاویه‌ی منفرجه میسازند).}
\end{enumerate} \\

\begin{example}{exp:1.4}
\begin{exmp}{exmp:1.4}
فرض کنید $\textbf{u}=(1,2,3)$ و $\textbf{v}=(-4,0,-1)$ باشند. زوایه‌ی بین $\textbf{u}$ و $\textbf{v}$ را پیدا کنید. \\
ابتدا موارد زیر را محاسبه می‌کنیم:

Expand All @@ -433,10 +438,10 @@ \section{\textbf{ضرب داخلی}}

$\theta=\cos^{-1}\frac{\displaystyle -7}{\displaystyle \sqrt{\displaystyle 14}\sqrt{\displaystyle 17}}\thickapprox 117^\circ$
\end{center}
\end{example}
\end{exmp}

\textbf{\vspace{-20pt}}
\begin{example}{exp:1.5}
\begin{exmp}{exmp:1.5}
شکل \ref{fig:4.Session.1.1.10} را در نظر بگیرید.
با توجه به $\textbf{v}$ و بردار واحد $\textbf{n}$، فرمولی برای $\textbf{p}$ بر حسب $\textbf{v}$ و $\textbf{n}$ با استفاده از ضرب داخلی پیدا کنید. \\
ابتدا، از شکل مشاهده کنید که عدد اسکالر $\textbf{k}$ وجود دارد
Expand Down Expand Up @@ -476,7 +481,7 @@ \section{\textbf{ضرب داخلی}}
\caption{تصویر متعامد/قائم $\textbf{v}$ روی $\textbf{n}$. \textbf{\vspace{10pt}}}
\label{fig:4.Session.1.1.10}
\end{figure}
\end{example}
\end{exmp}
\end{spacing}
}

Expand Down Expand Up @@ -590,7 +595,7 @@ \section{\textbf{ضرب خارجی}}
\label{fig:4.Session.1.1.13}
\end{figure}

\begin{example}{exp:1.6}
\begin{exmp}{exmp:1.6}
فرض کنید $\textbf{u}=(2,1,3)$ و $\textbf{v}=(2,0,0)$ باشد. سپس $\textbf{w}=\textbf{u}\times\textbf{v}$ و $\textbf{z}=\textbf{v}\times\textbf{u}$ را محاسبه کنید و چک کنید که $\textbf{w}$ متعامد به $\textbf{u}$ و $\textbf{v}$ باشد. معادله‌ی \ref{eqtn:1.5} را اعمال می‌کنیم: \\
\begin{equation*}
\centering
Expand Down Expand Up @@ -629,7 +634,7 @@ \section{\textbf{ضرب خارجی}}
\end{center}

نتیجه می‌گیریم که $\textbf{w}$ متعامد به $\textbf{u}$ و $\textbf{w}$ متعامد بر $\textbf{v}$ است.
\end{example}
\end{exmp}
\end{spacing}
}

Expand Down Expand Up @@ -674,7 +679,7 @@ \subsection{\textbf{متعامد سازی با ضرب خارجی}}
\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*}.]
\item {$\textbf{w}_{0}=\frac{\displaystyle\textbf{v}_{0}}{\displaystyle\norm{\textbf{v}_{0}}}$ قرار میدهیم}
\item {$\textbf{w}_{2}=\frac{\displaystyle\textbf{w}_{0}\times\textbf{v}_{1}}{\displaystyle\norm{\textbf{w}_{0}\times\textbf{v}_{1}}}$ قرار میدهیم}
\item {با قرار دادن $\textbf{w}_{1}=\textbf{w}_{2}\times\textbf{w}_{0}$ توسط تمرین \hyperref[question:1.14]{\ref{question:1.14}.1}، $\norm{\textbf{w}_{2}\times\textbf{w}_{0}}=1$ زیرا $\textbf{w}_{2}\perp\textbf{w}_{0}$ و $\norm{\textbf{w}_{2}}=\norm{\textbf{w}_{0}}=1$،
\item {با قرار دادن $\textbf{w}_{1}=\textbf{w}_{2}\times\textbf{w}_{0}$ توسط تمرین \hyperref[question:1.14]{\ref{question:1.14}1}، $\norm{\textbf{w}_{2}\times\textbf{w}_{0}}=1$ زیرا $\textbf{w}_{2}\perp\textbf{w}_{0}$ و $\norm{\textbf{w}_{2}}=\norm{\textbf{w}_{0}}=1$،
بنابراین در این مرحله آخر نیازی به نرمال سازی نداریم.}
\end{enumerate}

Expand Down
48 changes: 26 additions & 22 deletions BookFiles/4.1.2.Session.tex
View file
Original file line number Diff line number Diff line change
Expand Up @@ -2,9 +2,11 @@
\newpage

\setcounter{chapter}{2}
\setcounter{example}{0}
\setcounter{eqtn}{0}
\setcounter{section}{0}
\setcounter{point}{0}
\setcounter{eqtn}{0}
\setcounter{exmp}{0}
\setcounter{hint}{0}


\chapter{\lr{\textbf{جبر ماتریسی}}}
Expand Down Expand Up @@ -50,7 +52,7 @@ \section{\textbf{تعریف}}
ما یک عنصر ماتریسی را با مشخص کردن سطر و ستون عنصر با استفاده از نماد دوگانه $\textbf{M}_{ij}$ شناسایی می‌کنیم،
جایی که زیرنویس اول ردیف و زیرنویس دوم ستون را مشخص می‌کند.

\begin{example}{exp:2.1}
\begin{exmp}{exmp:2.1}
\Large
ماتریس‌های زیر را در نظر بگیرید:\\\\
$\textbf{A}=\begin{bmatrix}
Expand Down Expand Up @@ -141,9 +143,9 @@ \section{\textbf{تعریف}}
\item {ما یک اسکالر و یک ماتریس را با ضرب اسکالر در هر عنصر ماتریس ضرب می‌کنیم.}
\item {ما تفریق را بر حسب جمع ماتریس و ضرب اسکالر تعریف می‌کنیم. یعنی \\ $\textbf{A}-\textbf{B}=\textbf{A}+(-1\cdot\textbf{B})=\textbf{A}+(-\textbf{B})$.}
\end{enumerate}
\end{example}
\end{exmp}

\begin{example}{exp:2.2}
\begin{exmp}{exmp:2.2}
\Large
فرض کنید
\begin{center}
Expand Down Expand Up @@ -223,13 +225,14 @@ \section{\textbf{تعریف}}
\item {$(r+s)\textbf{A}=r\textbf{A}+s\textbf{A}$\hspace{26 mm} \rl{\textbf{(}خاصیت تویع پذیری ماتریس روی اسکالر\textbf{)}}}
\end{enumerate}
}
\end{example}
\end{exmp}
\end{spacing}
}


\section{\textbf{ضرب ماتریس}}
\label{sec:2.2}

\subsection{\textbf{تعریف}}
\label{subsec:2.2.1}
{
Expand All @@ -248,7 +251,7 @@ \subsection{\textbf{تعریف}}
به این معنا که باید بُعد بردارهای ردیف در $\textbf{A}$ با بُعد بردارهای ستون در $\textbf{B}$ برابر باشد.
اگر این ابعاد مطابقت نداشتند، آنگاه ضرب داخلی در معادله \ref{eqtn:2.1} معنی نخواهد داشت.

\begin{example}{exp:2.3}
\begin{exmp}{exmp:2.3}
\Large
فرض کنید

Expand All @@ -265,9 +268,9 @@ \subsection{\textbf{تعریف}}

حاصلضرب $\textbf{AB}$ تعریف نشده است زیرا بردارهای ردیف در $\textbf{A}$ دارای بُعد $2$ و بردارهای ستون در $\textbf{B}$ دارای بُعد $3$ هستند.
همچنین نمیتوان بردار ردیف اول $\textbf{A}$ را با بردار ستون اول $\textbf{B}$ ضرب داخلی کرد زیرا نمیتوان ضرب داخلی بردار دو‌بعدی با بردار سه‌بعدی را گرفت.
\end{example}
\end{exmp}

\begin{example}{exp:2.4}
\begin{exmp}{exmp:2.4}
\Large
فرض کنید

Expand Down Expand Up @@ -307,7 +310,7 @@ \subsection{\textbf{تعریف}}
\end{equation*}

توجه کنید که حاصلضرب $\textbf{BA}$ تعریف نشده است زیرا تعداد ستون‌های $\textbf{B}$ با تعداد ردیف‌های $\textbf{A}$ برابر نیست. یعنی $\textbf{AB}\neq\textbf{BA}$.
\end{example}
\end{exmp}

\end{spacing}
}
Expand Down Expand Up @@ -393,7 +396,7 @@ \section{\textbf{ترانهاده‌ی یک ماتریس}}
بنابراین ترانهاده یک ماتریس $m\times n$ یک ماتریس $n\times m$ است.
جابجایی یک ماتریس $\textbf{M}$ را $\textbf{M}^T$ نشان می‌دهیم.

\begin{example}{exp:2.5}
\begin{exmp}{exmp:2.5}
\Large
ترانهاده سه ماتریس زیر را بیابید:\\

Expand Down Expand Up @@ -439,7 +442,7 @@ \section{\textbf{ترانهاده‌ی یک ماتریس}}
\item {$(\textbf{A}^{-1})^T=(\textbf{A}^T)^{-1}$}
\end{enumerate}
} \textbf{\vspace{-30pt}}
\end{example}
\end{exmp}
\end{spacing}
}

Expand Down Expand Up @@ -484,7 +487,7 @@ \section{\textbf{ماتریس همانی}}
$\textbf{MI}=\textbf{IM}=\textbf{M}$
\end{center}

\begin{example}{exp:2.6}
\begin{exmp}{exmp:2.6}
\Large
فرض کنید
$\textbf{M}=\begin{bmatrix}
Expand Down Expand Up @@ -532,9 +535,9 @@ \section{\textbf{ماتریس همانی}}
\end{center}

بنابراین $\textbf{MI}=\textbf{IM}=\textbf{M}$ درست است.
\end{example}
\end{exmp}

\begin{example}{exp:2.7}
\begin{exmp}{exmp:2.7}
\Large
فرض کنید
$\textbf{u}=[-1,2], \textbf{I}=\begin{bmatrix}
Expand All @@ -551,7 +554,7 @@ \section{\textbf{ماتریس همانی}}
\end{bmatrix}=\left[ (-1,2)\cdot(1,0), (-1,2)\cdot(1,0) \right]=[-1, 2]$

توجه داشته باشید که ما نمی‌توانیم حاصل ضرب \textbf{Iu} را بگیریم زیرا ضرب ماتریس تعریف نشده است.
\end{example}
\end{exmp}
\end{spacing}
}

Expand Down Expand Up @@ -580,7 +583,7 @@ \subsection{\textbf{کِهاد‌های ماتریس}}
اگر $\textbf{A}$ ماتریس $n\times n$ باشد، ماتریس کِهاد $\bar{\textbf{A}}_{ij}$ ماتریس $(n-1)\times (n-1)$ است که با حذف ردیف i ام و ستون j ام از $\textbf{A}$ یافت می‌شود.

% \\\textbf{\vspace{10pt}}
\begin{example}{exp:2.8}
\begin{exmp}{exmp:2.8}
\Large
ماتریس‌های کِهاد $\bar{\textbf{A}}_{11}$، $\bar{\textbf{A}}_{22}$ و $\bar{\textbf{A}}_{13}$ از ماتریس زیر را بیابید:

Expand Down Expand Up @@ -618,7 +621,7 @@ \subsection{\textbf{کِهاد‌های ماتریس}}
A_{31} & A_{32}
\end{bmatrix}$
\end{center}
\end{example}
\end{exmp}
\end{spacing}
}

Expand Down Expand Up @@ -695,7 +698,7 @@ \subsection{\textbf{تعریف}}

در گرافیک سه‌بعدی، ما در درجه اول با ماتریس‌های $4\times 4$ کار می‌کنیم و بنابراین نیازی به تولید فرمول‌های صریح برای $n>4$ نداریم.

\begin{example}{exp:2.9}
\begin{exmp}{exmp:2.9}
\Large
دترمینان ماتریس $\textbf{A}=\begin{bmatrix}
2 & -5 & 3 \\
Expand Down Expand Up @@ -735,7 +738,7 @@ \subsection{\textbf{تعریف}}
&=120
\end{split}
\end{equation*}
\end{example}
\end{exmp}
\end{spacing}
}

Expand Down Expand Up @@ -811,7 +814,7 @@ \section{\textbf{معکوس یک ماتریس}}
$\textbf{A}^{-1}=\frac{\displaystyle\textbf{A}^{*}}{\displaystyle det\textbf{A}}$
\end{eqtn}

\begin{example}{exp:2.10}
\begin{exmp}{exmp:2.10}
\Large
یک فرمول کلی برای معکوس یک ماتریس $2\times 2$ پیدا کنید $\textbf{A}=\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \\
Expand Down Expand Up @@ -878,7 +881,7 @@ \section{\textbf{معکوس یک ماتریس}}
-1 & 2
\end{bmatrix}$
\end{center}
\end{example}
\end{exmp}

\begin{point}{pnt:2.1}
\Large
Expand Down Expand Up @@ -950,6 +953,7 @@ \subsection{\textbf{نوع‌های ماتریس}}
}

\textbf{\vspace{-60pt}}

\subsection{\textbf{توابع ماتریس}}
\label{subsec:2.8.2}
{
Expand Down
Loading

0 comments on commit 49ebdb9

Please sign in to comment.