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docs/2022-07-03-空间金字塔池化（SPP）关键参数计算.md

@@ -48,7 +48,7 @@ $$
 
 
 !!! warning "注意："
-    这是作者为论文中特定场景提出的，确实并不具备（作者也没声明）通用性。
+    这是作者为论文中特定场景提出的，确实并不具备（作者也没主张）其通用性。
 
 
 ## 初步修正的公式
@@ -114,7 +114,7 @@ p = \left \lceil \frac {(n-1)*s + k - w} {2} \right \rceil
 \tag{5}
 $$
 
-代入 $k=s$，公式（5）退化为公式（3）计算 $p$ 的部分，表明它是公式（5）更具一般性，公式（3）的 $p$ 只是一个特例。
+将 $k=s$ 代入上式即可得到公式（3）中计算 $p$ 的部分，表明上式更具一般性，公式（3）计算 $p$ 的方法只是公式（5）一个特例。
 
 
 结合（4-1）左半部分和（4-2）右半部分：
@@ -160,9 +160,9 @@ $$
 
 以 $P_1$ 方向为例，因为 $k,s$ 都是正整数，我们取 $P_0$ 右侧最接近的正整数值，即 $k = s = \lceil w / n \rceil$ ，于是得到了网上常见的初步修正的公式，即上文的公式（3）。
 
-至此，可以解释和统一之前的计算方法。
+至此，可以统一上文提及的计算方法，并且完美解释以下两个问题：
 
-### 公式（3）在什么情况下不再适用？
+### （a）公式（3）在什么情况下不再适用？
 
 对照可行域图就很好解释了——绿色线段上可能不存在整数解。
 
@@ -174,22 +174,46 @@ $$
 \frac {w} {n-1} = \frac {a*n+b} {n-1} = a + \frac {a+b} {n-1}
 $$
 
-显然，$w/(n-1)$ 的整数部分至少达到 $a+1$ 即 $(a+b)/(n-1) \geq 1$ 时，绿色线段标注的可行域上才有整数解。因此，公式（3）的使用条件：
+显然，$w/(n-1)$ 的整数部分至少达到 $a+1$ 即 $(a+b)/(n-1) \geq 1$ 时，绿色线段标注的可行域上才有整数解：
 
 $$
 \left \lfloor \frac {w} {n} \right \rfloor + \left(w \mod n\right) + 1 \geq n
+$$
+
+进一步考虑端点上的情况，即上式取等号，此时 $w/(n-1)$ 恰好为整数，且 $k=s=w/(n-1)$，参考公式（5）可知：
+
+$$
+p = \left \lceil \frac {n*k - w} {2} \right \rceil 
+  = \left \lceil \frac {w} {2 *(n-1)} \right \rceil 
+  = \left \lceil \frac {k} {2} \right \rceil 
+$$
+
+结合 $k \geq 2p$ 的限定条件，此时要求 $k$ 即 $w/(n-1)$ 必须为偶数。
+
+综上，公式（3）的使用条件：
+
+$$
+t = \left \lfloor \frac {w} {n} \right \rfloor + \left(w \mod n\right) + 1
+$$
+
+$$
+t \gt n \quad \lor \quad
+\left(
+t = n \quad \land \quad w/(n-1) \mod 2 = 0
+\right)
 \tag{7}
 $$
 
+其中，$\lor$ 和 $\land$ 分别表示“或”和“且”。
 
 
-### 如何处理公式（3）不适用的情况？
+### （b）如何处理公式（3）不适用的情况？
 
 当 $w,n$ 不满足不等式（7）时，公式（3）失效，那就走 $P_2$ 的路线，如青色箭头所示：
 
 - 此种情况下往右显然不存在可行的$s$了，于是向左一步得到 $P_0$ 附近的 $s$；
 
-- 然后向上增大 $k$ 知道满足可行域要求。
+- 然后向上增大 $k$ 直到满足可行域要求。
 
 
 以上过程反映了公式（2）的思路，但是为了更具通用性，确定 $k$ 时需要检查是否落在可行域内。将公式（2）中 $s$ 的表达式代入（4-4）的缩放式得到 $k$，然后将 $k,s$ 代入公式（5）计算 $p$，最终得到公式（2）的更一般形式：
@@ -213,19 +237,17 @@ $$
 
 ## 完整算法
 
-适用条件：$w \geq n \gt 1$，不满足此条件时，参考上文例外描述。
-特别说明：以下算法优先选择传统非重叠的池化方式，只有在无法满足时，才考虑重叠的池化方式。如果倾向于重叠的池化方式，则直接进入第（2）部分即可。
-
+**已知输入、输出尺寸 $w$ 和 $n$（$w \geq n$），求SPP池化层的窗口尺寸$(k)$，步长$(s)$及边距$(p)$**。
 
-（1）当 $\lfloor w/n \rfloor + \left(w \mod n\right) + 1 \geq n$ 时，
+（1）当满足不等式（7）时，
 
 $$
 s = k = \left \lceil \frac {w} {n} \right \rceil,
 \quad
 p = \left \lceil \frac {n*k - w} {2} \right \rceil 
 $$
 
-（2）$\lfloor w/n \rfloor + \left(w \mod n\right) + 1 \lt n$ 时，
+（2）当不满足不等式（7）时，
 
 $$
 s = \left \lfloor \frac {w} {n} \right \rfloor,
@@ -235,3 +257,4 @@ k = w - (n-1)*s,
 p = 0
 $$
 
+注意：以上算法优先选择传统非重叠的池化方式，只有在无法满足时，才考虑重叠的池化方式。如果倾向于重叠的池化方式，则直接选择第（2）部分计算公式即可。