[03주차 김동주] 정사각형 크로스워드 (플래티넘 III)

[hepheir]

🔎 문제 소개

• 링크: https://boj.kr/2807
• 제목: 정사각형 크로스워드
• 분류:
  • 브루트포스
  • 방향그래프
  • 통계(순열,조합)

🖊️ 풀이

• 시간 복잡도: $T(N) = O(N)+26^4$
• 입력의 크기:
  • (예시) $N \leq 100,000$

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모든 단어의 길이는 같고, 각 단어의 시작과 끝끼리 연결하며, 단어는 반드시 좌상단부터 읽습니다.

이 규칙을 이용해서, 각 단어의 시작과 끝의 알파벳을 정점으로 갖지며 단어가 각 정점간의 연결관계를 나타낸다고 보고 이를 방향그래프로 치환해서 풀었습니다.

가령 다음과 같은 예시가 있다면,

H	L	A	D
S			E
I			D
N	I	V	A

다음과 같이 치환 할 수 있습니다.

graph LR

H --> D
H --> N
D --> A
N --> A

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각 단어들에서 중간에 위치한 글자들을 모두 지우고 보면 중복되는 간선들이 발생할 수도 있습니다. 가령 HLAD와 HCBD가 있다면 둘은 모두 H→D 로 치환이 되는 것이죠.

간선의 가중치를 해당 간선으로 치환된 단어의 개수로 두고 보아 이러한 점을 해결합니다.

따라서 다음과 같은 Weighted Directed Graph 가 나오게 되죠.

graph LR

H -- "2" --> D
H -- "2" --> N
D -- "1" --> A
N -- "4" --> A

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이 때, 가능한 경우의 수는 각 간선들의 가중치의 곱과 같습니다.
$(2 \times 1) \times (2 \times 4)$

이와 같이 나올 수 있는 모든 방향가중치그래프의 경우의 수를 구하고(브루트포스), 약간의 중복 처리(${}_nC_r$)를 해주면 문제의 답을 구할 수 있습니다.

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그래프를 어떻게 구성할 것인가...

정점 $V$에 대해여 $|V| = 26$입니다. (알파벳의 개수)

정점의 수가 충분히 적으므로, 이 정도면 인접행렬로 가중치를 표기해도 공간 제약을 충분히 여유롭게 지킬 수 있겠습니다.

adjMat: dict[str, dict[str, int]]

위와 같은 자료형으로 유사-인접행렬을 구현하겠습니다.

Python3의 경우 collections 모듈을 이용하면 좀 더 야매로 편하게 구현할 수 있습니다.

adjMat = collections.defaultdict(lambda: collections.defaultdict(lambda: 0))

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그럼 시간복잡도를 구해봅시다.

시작 노드와 끝 노드가 있고, 중간에 하나의 노드를 경유하는 경로 쌍 2개를 구하면 됩니다.
따라서, (a) 문제에서 주어지는 입력을 받아 그래프를 만드는 시간 (b)시작 노드를 구하는 경우의 수, (c)마지막 노드를 구하는 경우의 수, (d) 두 개의 경유지를 고르는 경우의 수, (e) 선택한 경로에 대한 경우의 수를 구하는 시간...가 있을 때, $T(N) = (a) + (b) \times (c) \times (d) \times (e)$가 됩니다.

(a)는 $O(N)$ 입니다.

(b), (c)는 알파벳 글자의 개수와 같으므로 각각 $26$이죠.
(d)는 n개의 글자 중 r개를 선택하는 것이므로, ${}_nP_r$이라고 볼 때, $n = 26$, $p = 2$입니다. 따라서 $26 \times 25$이 되겠습니다.

(e) 는 4개의 간선과 이들의 가중치에 대한 단순한 산술연산으로 상수 시간 $O(1)$에 해결이 됩니다.

종합하면 약 $T(N) = O(N) + 26^4$ 정도가 되겠습니다.