Álgebra Linear - APS 4 - 2024.1 Insper

Autores do Projeto

• Ian Cordibello Desponds
• Luigi Orlandi Quinze

Cubo 3D com Pygame

Neste projeto, implementamos a projeção de um cubo em 3D para uma tela 2D usando o algoritmo da pinhole camera. O objetivo é criar uma projeção em tempo real de um cubo em wireframe que pode girar em todas as direções.

Processo de Criação

Matriz do Cubo 3D

Para modelar o cubo em um espaço 3D, definimos inicialmente os 8 vértices que compõem o cubo. Cada vértice é representado por um vetor tridimensional. Em seguida, organizamos esses vértices em uma matriz onde cada coluna representa um ponto.

Rotação nos Eixos x, y e z

As rotações são realizadas usando matrizes de rotação em torno dos eixos x, y e z. Para cada eixo, calculamos as funções trigonométricas seno e cosseno do ângulo de rotação e usamos esses valores para construir as respectivas matrizes de rotação.

$$ R_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \hspace{0.5in} R_y = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \hspace{0.5in} R_z = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & - \sin(\theta) & 0 & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Para aplicar a rotação em torno de um eixo, multiplicamos a matriz de rotação correspondente pela matriz do cubo 3D. A rotação é realizada em tempo real, e o ângulo de rotação é alterado automaticamente no loop principal do jogo. Cada vértice do cubo é multiplicado pela matriz de rotação para obter a nova posição do vértice após a rotação. A matriz do cubo é atualizada com as novas posições dos vértices após a rotação. Cada uma das rotações pode ser ativada ou desativada com as teclas X, Y e Z, respectivamente.

Translação em x, y e z no Cubo 3D

Para afastar o cubo da câmera, aplicamos uma translação em z. Para mover o cubo para a esquerda ou direita ou para cima ou para baixo, aplicamos translações em x e y, respectivamente. As translações são realizadas usando matrizes de translação. Os valores de translação são definidos de acordo com os movimentos do usuário com as teclas e o mouse.

$$ T_z = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & y \\ 0 & 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

$$ Onde:\\ $$

$$ x = -pos_x\text{ + (pos-mouse[0]-300)//2} \\ $$

$$ y = -pos_y\text{ + (pos-mouse[1]-300)//2} \\ $$

$$ z = 100 \text{ → distância da câmera ao centro do cubo}\\ $$

$$ pos_x = \text{movimento que o usuário fez com as teclas A e D} \\ $$

$$ pos_y = \text{movimento que o usuário fez com as teclas ↑ e ↓} \\ $$

Transformação de Matriz para Projeção 2D

Para projetar o cubo em uma tela 2D, aplicamos a matriz de projeção em perspectiva. Essa matriz é responsável por converter as coordenadas tridimensionais em coordenadas bidimensionais, levando em consideração a distância da câmera ao cubo.

$$ \begin{bmatrix} z_p \\ x_{p}w_{p} \\ y_{p}w_{p} \\ w_p \\ \end{bmatrix}= M_p\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -d \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{d} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_o \\ y_o \\ z_o \\ 1 \\ \end{bmatrix} $$

$$ Onde:\\ \text{$d$ é a distância da câmera ao centro do cubo.} $$

Portanto, para encontrar os valores de x e y na tela 2D, dividimos x_p e y_p por w_p.

$$ x = \frac{x_p w_p}{w_p} $$

$$ y = \frac{y_p w_p}{w_p} $$

Translação da Projeção 2D em x e y

Para centralizar a projeção do cubo na tela e diminuir a distorção do cubo, aplicamos uma translação em x e y baseada no tamanho da tela (centralizar) e movimentos do usuário com as teclas.

$$ T_{xy} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}\\ $$

$$ Onde:\\ $$

$$ x = \text{largura da tela} // 2 + pos_x\\ $$

$$ y = \text{altura da tela} // 2 + pos_y\\ $$

$$ pos_x = \text{movimento que o usuário fez com as teclas A e D} \\ $$

$$ pos_y = \text{movimento que o usuário fez com as teclas ↑ e ↓} \\ $$

Como Executar o Jogo

Certifique-se de ter o Python instalado em seu sistema.

Baixe o código fonte do jogo.

Abra um terminal na pasta onde o código está localizado.

Execute o seguinte comando para instalar as bibliotecas Pygame e Numpy:

pip install -r requirements.txt

Em seguida, execute o seguinte comando para iniciar o jogo:

python main.py

Controles

• Teclas ↑ e ↓: Movimentam a câmera para cima, baixo, esquerda e direita.
• Teclas W e S: Aproximam e afastam a câmera do cubo, respectivamente.
• Teclas A e D: Movimentam a câmera para a esquerda e direita, respectivamente.
• Teclas X, Y e Z: Ativam ou desativam a rotação em torno dos eixos x, y e z, respectivamente.
• Tecla T: Ativa a rotação em torno de todos os eixos.
• Tecla F: Desativa a rotação em torno de todos os eixos.
• Tecla R: Reseta a posição e rotação do cubo.
• Tecla .: Aumenta a velocidade de rotação do cubo.
• Tecla ,: Diminui a velocidade de rotação do cubo.
• Tecla C: Ativa ou desativa a mudança automática de cor do cubo.
• Movimento do mouse: Movimenta a câmera para cima, baixo, esquerda e direita.
• Scroll do mouse: Aproxima e afasta a câmera do cubo.