vl im

texnotes/vl.tex

@@ -0,0 +1,99 @@
+\section*{2. Übung}
+\subsection*{2.1. Aufgabe}
+Zu zeigen:
+\begin{equation}\begin{split}
+	A^TAx = 0 &\Leftrightarrow Ax = 0\\
+\end{split}\end{equation}
+bzw. $Rang(A) = n \stackrel{?}{\Leftrightarrow} Rang(A^TA) = 0$
+oder auch $Kern(A) = Kern(A^TA)$
+schon klar:
+\begin{equation}\begin{split}
+	Ax = 0 &\Rightarrow A^TAx = 0 \quad \checkmark
+\end{split}\end{equation}
+
+\subsection*{2.2. Aufgabe}
+\begin{equation}\begin{split}
+	A &= \begin{pmatrix}
+		-1 & 1\\
+		2 & 4\\
+		-2 & -1
+	\end{pmatrix}\\
+	&= Q\cdot R\\
+	&\stackrel{\text{\lstinline|Matlab|}}{=}
+	\underbrace{
+		\nicefrac{1}{3}\begin{pmatrix}
+		-1&2&-2\\
+		2&2&1\\
+		-2&1&2
+	\end{pmatrix}}_{Q}
+	\cdot
+	\begin{pmatrix*}
+		3&3\\
+		0&3\\
+		0&0
+	\end{pmatrix*}
+\end{split}\end{equation}
+
+Minimale 2-Norm des Residuums?
+\begin{equation}\begin{split}
+	\norm{b-Ax}_2^2 &= \norm{\underbrace{Q^Tb}_{c} -Rx}_2^2\\
+	&=
+	\norm{\begin{pmatrix}
+			c_1\\
+			c_2
+		\end{pmatrix}
+		-\begin{pmatrix}
+			R_1\\
+			\vec{0}
+		\end{pmatrix}
+		\scdot x
+	}_2^2 \\
+	&= \norm{c_1 -R_1x}_2^2 + \norm{c_2 -\vec{0}x}\\
+\end{split}\end{equation}
+
+nun könnte für $\norm{c_1 -R_1x}_2^2$ ein x gefunden werden, da aber $\norm{c_2 \quad\cancelto{0}{-\vec{0}x}\quad} \geq 0$ ist, kann das Residuum nur minimal $\norm{c_2}_2^2$ werden.
+
+Hier also:
+\begin{equation}\begin{split}
+	Q^Tb &= \begin{pmatrix}
+		-1\\2\\1
+	\end{pmatrix}\\
+	c_2 &= 1 \Rightarrow
+	\norm{c_2}_2^2 = 1
+\end{split}\end{equation}
+
+
+
+\subsection*{2.3. Aufgabe}
+$A\in \R^{m\times n}, Q \in \R^{m\times m}$ orthogonal, $R_1\in \R^{n\times n}$ obere Dreiecksmatrix und
+\begin{equation}\begin{split}
+	Q^TA = \begin{pmatrix}
+		R_1\\\vec{0}
+	\end{pmatrix}
+\end{split}\end{equation}
+Zeige, $R_1$ ist regulär, gdw. $Rang(A) = n$.
+
+
+
+
+d.h. zeige, dass $Rang(A) = n \stackrel{?}{\Leftrightarrow} R_1 \text{regulär} \Leftrightarrow Rang(R_1) = n \Leftrightarrow Rang(R) = n
+\stackrel{Q \text{regulär}}{\Leftrightarrow} Rang(QR) = n 
+\Leftrightarrow Rang(A) = n$
+
+Da $Q$ orthogonal, wird der Rang von $A$ nicht geändert.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

uebungen/factorio/quadratic approx piecewise/quadTest.m

@@ -9,7 +9,7 @@
 logb = @(x) log(x)/log(base);
 
 
-x = logspace(0, log10(limit_end), 1e2)';
+x = logspace(0, log10(limit_end), 1e6)';
 y = logb(x);
 
 plot(x, y, 'g');
@@ -48,6 +48,7 @@
 end
 maxErr
 
+return;
 figure;
 plot(x_quad{1}, y_quad{1}, 'b');
 hold on;